Tag Archives: metoda crossa

METODA OBLICZENIOWA PRZEWODU WYDATKUJĄCEGO PO DRODZE

Przewód wydatkujący po drodze – w schemacie hydraulicznym przewodu zakłada sie, że na pewnym odcinku przewodu o stałych parametrach geometrycznych znajduje się pewna ilość gęsto rozmieszczonych poborów wody (np. zasilanie w wodę osiedla domków jednorodzinnych).

 Schemat przewodu wydatkującego po drodze

Dokładne obliczenie strat hydraulicznych przewodu wydatkującego wymagałoby więc liczenia każdego odcinka pomiędzy odbiorcami oddzielnie, ze względu na zmieniający sie przepływ. W celu uproszczenia obliczeń wprowadzono pojęcie przepływu zastępczego (obliczeniowy). Jest to taki przepływ, który na pewnym odcinku L powodowałby takie same straty hydrauliczne jak rzeczywisty, stale malejący przepływ Q.
Przepływ obliczeniowy dla danego odcinka:

gdzie:
Q_k – przepływ na końcu odcinka,
q_w – rozbiór wody na całej długości odcinka,
α – współczynnik, który mieści sie w granicach od 0,5 do 0,577 (α = 0,55).

Tak więc zastępczy przepływ obliczeniowy może być obliczany przy pomocy zależności:

Przebieg obliczeń sieci rozgałęzionych sprowadza się do znalezienia średnic rurociągów dla których spełniony jest warunek optymalnej prędkości przepływu wody, a następnie znalezienia strat ciśnienia na każdym odcinku sieci. Ten ostatni parametr potrzebny jest do wykonania wykresu linii ciśnień, tym samym określenia ciśnienia końcowego w sieci u odbiorców.

Zalecane prędkości przepływu wody w przewodach wodociągowych

Prędkości z tabeli 1 mają dość duży rozrzut, ich górne granice powodują jednocześnie dość duże straty ciśnienia w sieci, dlatego dla uproszczenia można przyjąć że optymalna wartość prędkości przepływu powinna sie mieścić w granicach 0,8 – 1,2 m/s. Dolna granica prędkości to tzw. prędkość niezamulająca, przy której sieć ma zdolność do samooczyszczania z osadów.

Przy obliczeniach hydraulicznych stosujemy wzór Manninga:

gdzie:
V- prędkość przepływu wody w przewodzie [m/s]
n – współczynnik szorstkości przewodu
R lub R_h – promień hydrauliczny [m]
I – spadek linii ciśnień [m/m]

 Promień hydrauliczny obliczamy dzieląc średnicę przewodu przez 4; R = D/4. Ponieważ obliczenia mają postać uwikłaną, korzystamy z nomogramu dla wzoru Manninga. Nomogram sporządzony jest dla szorstkości przewodu n=0,0125. Przy innych wartościach “n” obliczenia należy skorygować. Możemy wtedy korzystać ze wzoru Chezy’ego na tzw. współczynnik prędkości przewodu “c”:

gdzie:
λ – współczynnik oporów liniowych
g – przyspieszenie ziemskie 9,81 m/s²
l – długość odcinka [m]
D – średnica przewodu odczytana z nomogramu [m]
v – prędkość przepływu odczytana z nomogramu [m/s]
h_l – spadek linii ciśnień [m]

Przykład obliczeniowy:

Zaprojektować średnicę rurociągu dla poszczególnych odcinków sieci dla schematu na rysunku. Szorstkość ścian przewodu wynosi n=0,0125. 

oznaczenia: Zb – zbiornik sieciowy, A,B,C… – węzły sieci, L=120m – długości odcinków, qw – wydatki na odcinkach lub w punktach końcowych sieci

Etap 1 − Zestawienie danych, określenie przepływów Qp i Qk.

Ilość wody wypływająca ze zbiornika musi pokryć zapotrzebowanie w całej sieci. Ilość wody wypływająca z węzła A do odcinka AB musi pokryć całe zapotrzebowanie w odnodze ABC (sumujemy qw w odnodze ABC). W węźle A znajduje sie rozgałęzienie sieci. Z równania ciągłości strugi wynika, że suma przepływów początkowych na odcinkach AB i AE musi sie równać ilości wody dopływającej ze zbiornika do węzła A.

W przypadku, gdy nie ma dodatkowego punktu poboru wody w węźle przepływ końcowy Qk dla odcinka poprzedniego jest przepływem początkowym Qp dla odcinka następnego. Taka sytuacja ma miejsce w węźle B:

W węźle G zlokalizowany jest dodatkowy pobór wody. Równanie ciągłości równie obowiązuje; Qk początkowe dla odcinka następnego pomniejszamy o przepływ dodatkowy qw co zapiszemy je w postaci:

Dane dotyczące przepływów na poszczególnych odcinkach możemy już nanieść w Tabeli:

Etap 2 − Dobór średnicy rurociągu na poszczególnych odcinkach sieci.

Dobór średnicy wykonujemy dla przepływu obliczeniowego Qobl. Dla każdego odcinka sieci należy dobrać średnice przewodu tak, aby średnia prędkość przepływu wody w rurociągu zawierała się w przedziale 0,8÷1,2 m/s. Ponadto średnica przewodu powinna maleć w miarę oddalania się od zbiornika. Do określenia parametrów przepływu wody wykorzystujemy nomogram Manninga (n=0,0125), który pozwala nam dla przepływu obliczeniowego Qobl dobrać średnice przewodu, określić średnią prędkość przepływu wody oraz odczytać spadek linii ciśnień (straty na długości).
Na odcinku Zb-A przepływ obliczeniowy jest równy Qobl = 290 l/s. Odczytane wartości:
– dopuszczalne średnice rurociągu: 650 mm lub 600 mm – wybieram 600 ponieważ koszt zakupu będzie mniejszy,
– średnia prędkość przepływu wody = 1,03 m/s,
– spadek linii ciśnień  I = 2,1 ‰.

Sposób odczytania wartości z nomogramu przedstawia poniższy rysunek:

W analogiczny sposób dobieramy średnice pozostałych przewodów a adane zapisujemy w Tabeli:

Etap 3 − Obliczenie rzędnej linii ciśnień

Rzędną zwierciadła wody w zbiorniku przyjęto 150,07 m n.p.m. Rzędne w kolejnych węzłach będą niższe o wysokość strat na długości odcinka. Straty na długości h_l otrzymuje sie poprzez pomnożenie spadku linii ciśnień [kolumna 9] i długości odcinka L [kol. 3]. Straty miejscowe przyjmuje sie jako 10% strat na długości. Straty całkowite h_str=1,1×h_l. Rzędna zwierciadła wody w węźle A wynosi:

 150,07 – 0.23 = 149, 84 m n.p.m.

Wypełniamy pozostałe kolumny tabeli:

Na podstawie uzyskanych wyników wykonujemy wykres linii ciśnień

Jeśli z wykresu wynika, że u odbiorcy końcowego ciśnienie wody w sieci jest zbyt niskie, należy:

• przeprowadzić obliczenia od początku przyjmując np. większą średnicę przewodów
• zaprojektować u niekorzystnie położonych odbiorców instalacje hydroforowe
• zaprojektować wyższy zbiornik (większa rzędna początkowa)

METODA CROSSA

Obliczenia hydrauliczne sieci wodociągowej należy przeprowadzić dla rozbioru maksymalnego godzinowego (Qmaxh), minimalnego godzinowego (Qminh) oraz sprawdzić jej działanie podczas trwania gaszenia pożaru (Qmaxh+ Qppoż), przy czym wielkość zapotrzebowania na wodę do gaszenia pożaru należy przyjąć zgodnie z normy PNB-02864:1997/Az1:2001 – “Ochrona przeciwpożarowa budynków. Przeciwpożarowe zaopatrzenie wodne. Zasady obliczania zapotrzebowania na wodę do celów przeciwpożarowych do zewnętrznego gaszenia pożaru”.

Przy doborze średnic przewodów przyjmuje się prędkości ekonomiczne, które wg Gabryszewskiego wynoszą:

• dla Φ£ 300 mm – przyjmuje się prędkość w od 0,5 do 0,9 m/s,
• dla Φ > 300 mm – przyjmuje się prędkość w od 0,9 do 1,5 m/s ,
W magistralach tranzytowych np.: pompownia – sieć wodociągowa, można przyjmować prędkości większe tj. 1,0 do 3,0 m/s.

W obliczeniach sieci wodociągowych  obwodowych przy założonej średnicy rur, niewiadoma pozostaje wielkość przepływu na poszczególnych odcinkach sieci i spadki ciśnienia. Rozwiązanie tego problemu przeprowadza się stosując metodę Crossa, będącą metodą kolejnych przybliżeń, której założenia opierają się na dwóch podstawowych prawach Kirchoffa:

1.      Suma dopływów do węzła równa się sumie odpływów z węzła, zatem w węźle sieci:

gdzie:
Q_i – i-te natężenie przepływu dopływające do węzła lub z niego odpływające
n   – liczba wszystkich dopływów do danego węzła i odpływów z danego węzła

Przy sumowaniu dopływy do węzła przyjmuje się jako dodatnie, a odpływy jako ujemne.

2. Algebraiczna suma wysokości strat ciśnienia w każdym zamkniętym obwodzie (oczku sieci) równa się zeru

Przy sumowaniu przyjmuje się stratę ciśnienia za dodatnią, jeżeli ruch wody odbywa się zgodnie z ruchem wskazówek zegara przyjętym za dodatni (wskazywany przez strzałkę – rys.) . W przeciwnym przypadku jej wartość przyjmuje się za ujemną. Na rys.   pokazano schemat prostej sieci obwodowej składającej się z jednego oczka.

Schemat obliczeniowy sieci wodociągowej metodą Crossa

W naszym przypadku 

Dane wejściowe oraz wyniki kolejnych przybliżeń zapisujemy w tabeli

Procedura postępowania w metodzie Crossa:

• Numerujemy oddzielnie wszystkie oczka i węzły sieci. Zakładamy kierunki przepływu we wszystkich obwodach (zgodne z ruchem wskazówek zegara jako dodatnie).
• Wpisujemy do kolumny 1 tabeli. numer oczka, do kolumny 2 numery odcinków w oczku oraz do kolumny 3 odpowiadające tym odcinkom długości L i średnice D. Numery odcinków wpisujemy w kolumnie 2 w postaci zapisu „i – j”, gdzie i,j – numery węzłów, które łączy dany odcinek. Czynności te wykonujemy dla wszystkich obwodów w sieci.
• Zakładamy natężenia przepływu Q na poszczególnych odcinkach sieci, tak aby było spełnione pierwsze równanie Kirchoffa. Obliczamy średnią prędkość przepływu w i-tym przewodzie z zależności:

Sprawdzamy, czy spełniony jest  warunek prędkości dla magistrali lub odgałęzienia w zależności od funkcji, jaką spełnia dany odcinek w sieci. Jeżeli tak, to wpisujemy wartości Q i w odpowiednio w kolumnach 5 i 10 tabeli. Natężenie przepływu, którego kierunek w obwodzie jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara wpisujemy ze znakiem ujemnym.

• (4)Z nomogramu Manninga dla przyjętej średnicy przewodu oraz założonego wydatku i prędkości przepływu odczytujemy wartość spadku hydraulicznego “I” w ‰. Odczytaną wartość wpisujemy w kolumnie 6 tabeli.
• (5) Obliczamy wysokość straty ciśnienia w przewodzie ze wzoru Δh = I·L/1000 (I w promilach) i zapisujemy ją w kolumnie 7.
• (6)Obliczamy wartość ilorazu Δh/Q  i zapisujemy ją w kolumnie 8. Wartość ta jest zawsze dodatnia, ponieważ wysokość strat oraz wydatek mają te same znaki
• (7)Obliczamy (uwzględniając znaki sumę wysokości strat (kolumna 7) oraz sumę

(kolumna 8) dla każdego pierścienia. Wpisujemy obliczone wartości na dole kolumn 7 i 8. Ponieważ obliczone straty za pierwszym razem prawie nigdy nie są zrównoważone ΣΔh ≠ 0, konieczne jest obliczenie poprawki.

• Obliczamy wartość poprawki Crossa ΔQ_j dla każdego obwodu wg następującej zależności:

Wpisujemy wartość obliczonej poprawki do kolumny 9.

• Modyfikujemy założone wydatki dodając do nich wartość obliczonej poprawki Crossa, odpowiadającej danemu obwodowi.

Przy obliczaniu odcinków wspólnych dla dwóch obwodów do poprawki wynikającej z obliczeń jednego obwodu dodajemy ze znakiem  przeciwnym poprawkę otrzymaną z obliczeń drugiego obwodu. Oddzielamy w tabeli podwójną linią poprzednio wyznaczone wartości i zaczynamy kolejne przybliżenie przez wpisanie nowych  wartości wydatków do kolumny 5, przepisując jednocześnie bez zmian wartości z kolumn 1÷4.

• Powtarzamy czynności opisane w punktach 4÷7. Sprawdzamy czy

gdzie: Δh_dop = 0,5÷1 m. Jest to, przyjmowana przy konwencjonalnych metodach obliczeń, wartość dopuszczalnego maksymalnego odchylenia sumy wysokości strat ciśnienia w obwodzie od wartości zerowej (odchylenie od warunku zawartego w II prawie Kirchoffa).

Jeżeli warunek  jest spełniony dla wszystkich obwodów w sieci, wówczas kończymy obliczenia przyjmując do dalszych rozważań ostatnio obliczone wartości wydatków i prędkości przepływu.

źródło:
1) www.instsani.pl